거듭제곱은
an 인데,
n이 자연수일 때는 누구나 직관적으로 이해가 된다.
an×am=an+m⋯(1)(an)m=anm⋯(2)n,m∈N
여기까지도 문제없이 이해 가능하면 아래처럼 그림 1을 그릴 수 있다.
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| 그림 1 |
하지만 옛날 사람들은
a2 와
a3 사이에도
a2.5 같은 것이 존재해야만 할 것 같았던 것이다.
a2.5 는 일단
a2를 구한 다음에
a0.5를 곱해야 된다. 이것은 자연적으로 거듭제곱(지수,승수)이 1보다 작을 때 어떻게 계산하는지에 대한 문제가 되었을 것이다. 어떤 수를
n회 거듭해서 곱한다는 거듭제곱수의 정의와 상충되는 게 아닌가?
하지만
(2)를 조금 확장하여,
n=1p,p∈N 이고,
m=p 인 것을 생각해보면,
(a1p)p=a⇒a1p=p√a
즉,
p제곱근이 된다. 이걸 처음 알아낸 사람은 얼마나 신났을까?
a2.5이란, 다름아닌
a2×√a였던 것이다!
이제 그렇다면
a0.000000001 같은 것도 (힘들지만) 구할 수는 있는 것이다.
1에 가깝게 나오리란 것쯤은 예측 가능하다. 그리고 아직 증거는 없지만,
a0 이 1이라고 말할 수 있을 것 같다. 여기까지 구할 수 있다면 그림 2을 그릴 수 있다.
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| 그림 2 |
하지만 이 곡선이
0에서 끊기는 것은 많이 아쉽다. 음수 영역에서도 자연스럽게 곡선이 이어질 것만 같으니까 말이다.
이번에는
(1)을 변형하여,
an+1/a1=an
을 생각해보고,
n≤0로 확장하면
a0+1/a1=a0=1a−1+1/a1=a−1=1a1a−2+1/a1=a−2=1a2
가 되므로, 거듭제곱(exponent, power)이
0 일 때 모든
a에 대해서 그 값은
1이 되는 것이 확인되고, 음수인 거듭제곱
n은 다름아닌 역수를 만들어내는 것이 동시에 확인된다. 이제 그림 3도 그릴 수 있다.
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| 그림 3 |
이상을 정리하면, 어떤 수
a>0[1]의 유리수거듭제곱은 다음과 같다.
apq=q√ap where p∈I and q∈N
이제 좀 더 많은 경우의
a에 대하여 그래프를 그려보면, 아래 그림 4와 같이 구할 수 있다.
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| 그림 4 |
그러나 변수가
a 와
n로 2-dim.이니, 그림 5처럼 3차원 그래프로 나타내는 게 관계를 파악하는데 더 좋다.
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| 그림 5 |
이제 거듭제곱이 유리수라도 문제없이 거듭제곱수를 구할 수 있다.
실수로까지 확장하여 구하고 싶다면 어떻게 구할까? 애당초 무리수의 참값은 알 수 없고, 근사치로만 알고있기 때문에 근사치인 실수를 이용하면 된다.
an=lim
조금 얼렁뚱땅이기는 하지만 이렇게 거듭제곱이 실수인 경우까지 구할 수 있게 되었다.
이번에는 복소수까지 확장해보자. [2]에 의하여,
a^{n+jm}=e^{(n+jm)\ln a}
로 변형될 수 있고, 오일러의 공식
e^{jx}=\cos(x)+j\sin(x) 에 의해 자연상수
e 의 허수인 거듭제곱을 계산할 수 있다. 당연하게도 결과는 복소수로 나오게 된다. 그림 6은
2^{n+im} 에 대하여 그 결과를 색상으로 나타낸 것이다. 애석하게도 실수부와 허수부를 한번에 나타낼 수는 없으므로, 두 그래프로 나누어 나타내었다.
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| 그림 6 |
[1]
a=0 인 경우에 대해서는 "............"을 참조
[2]
"밑변환 change of base"에서 지수 밑변환을 잠조
