원주율은 다음과 같이 아름답게도 표현할 수 있다.
\( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} \)
합 공식으로 나타내면 간단하지만 오히려 아름답지가 않다.
\( \sum_{n=0}^\infty \, \frac{(-1)^n}{2n+1} \;=\; \frac{\pi}{4} \)
또는 변형하여,
\( \frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} \bigg(\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}\bigg) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{(4n+1)(4n+3)} \)
단, 이 공식을 이용하여 \( \pi \)를 구하는 것은 조금 바람직하지 않다. 진짜 \( \pi \)로의 수렴속도가 느리기 때문에.
증명은 여기로.
2014년 5월 7일 수요일
2014년 5월 1일 목요일
가장 아름다운 공식, 오일러의 등식 Euler's identity, Euler's equation
오일러의 등식 Euler's identity, Euler's equation
\( e^{j\pi}+1=0 \)
\( e \)는 자연상수,
\( j \)는 허수,(\( i \)로 쓰기도 한다.)
\( \pi \)는 원주율
\( 0 \)과 \( 1 \)은 중요한 숫자.
자연상수에다가 허수와 파이를 곱한 만큼 거듭제곱[1]을 하고 1을 더하니 오묘하게 0이 되었다? 정말로 아름답지 아니할 수 없다.
물론 우연히 나온 결과가 아니라,
\( e^{jx}=\cos(x)+j\sin(x) \)
라는 오일러의 공식 Euler's formula에서 \( x \)가 \( \pi \)인 특이한 경우이다.
이를 복소평면상에서 해석하자면,
\( e^{j\pi}+(1+j0)=(0+j0) \ \Rightarrow \begin{pmatrix} \cos(\pi) \\ \sin(\pi) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
작성중..
[1] 거듭제곱을 자연수가 아닌 수로 어떻게 하는지(가능한지) 궁금하면 "거듭제곱의 확장, 그리고 또 확장"을 참조
\( e^{j\pi}+1=0 \)
\( e \)는 자연상수,
\( j \)는 허수,(\( i \)로 쓰기도 한다.)
\( \pi \)는 원주율
\( 0 \)과 \( 1 \)은 중요한 숫자.
자연상수에다가 허수와 파이를 곱한 만큼 거듭제곱[1]을 하고 1을 더하니 오묘하게 0이 되었다? 정말로 아름답지 아니할 수 없다.
물론 우연히 나온 결과가 아니라,
\( e^{jx}=\cos(x)+j\sin(x) \)
라는 오일러의 공식 Euler's formula에서 \( x \)가 \( \pi \)인 특이한 경우이다.
이를 복소평면상에서 해석하자면,
\( e^{j\pi}+(1+j0)=(0+j0) \ \Rightarrow \begin{pmatrix} \cos(\pi) \\ \sin(\pi) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
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[1] 거듭제곱을 자연수가 아닌 수로 어떻게 하는지(가능한지) 궁금하면 "거듭제곱의 확장, 그리고 또 확장"을 참조
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