복소로그함수 Complex logarithm 와 리만 곡면 Riemann surface

복소수 $z=r e^{j\theta}=x+jy$ 에 대하여 다음과 같이 복소로그(complex logarithm) 함수를 정의한다.

$\text{Log} z := \ln r + j \theta = \ln(z) + j\ \text{arg}(z)=\ln |z| + j(\theta + 2n\pi) = \text{ln}\sqrt{x^2+y^2} + j\ \text{atan2}(y,x)\ \text{where}\ n\in\mathbf{Z}$

$\text{Log}$는 logarithm 이기는 한데, 이렇게 확장하여 정의했으니 대문자 L을 쓴 것이다. 의미 상으로는 밑이 $e$ 인 logarithm 맞다.

$z = 1= e^{j0}$ 이라면,

$\text{Log}1 := \ln(1) + j\ \text{arg}(1) = \cdots, -j4\pi, -j2\pi, 0, j2\pi, j4\pi, \cdots$

이렇게 답이 무한개가 나오므로[1], 보통은 답의 범위를 $[-\pi, \pi)$ 처럼 제한하여 다루었다. 하지만 이렇게 공역을 제한하는 것보다는 정의역을 다르게 정의하는 것이 적절하다. 이것이 바로 리만 곡면 Riemann surface이다. 물론 리만 곡면은 함수에 따라 달라진다. 그림 1은 Log함수의 정의역인 복소곡면을 나타낸다. 이 곡면상의 한 점이 함수의 입력에 해당되고, z축의 꼭대기에서 (전체를 관통하여) 복소평면을 바라보았을 때의 그 점의 위치가 출력에 해당된다.

그림 1

참으로 소용돌이 감자가 먹고 싶어지게 하는 곡면이다.

그림 2[2]

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[1] 입력은 하나인데, 출력은 여러 개이므로 이것은 다가함수(multivalued function)이고, 함수의 정의에 의하면 함수라고 할 수 없지만, 통상 함수라고 칭한다.
[2] 출처 http://twistpotatomalaysia.blogspot.kr/2010_07_01_archive.html