가장 아름다운 공식, 오일러의 등식 Euler's identity, Euler's equation

오일러의 등식 Euler's identity, Euler's equation

\( e^{j\pi}+1=0 \)

\( e \)는 자연상수,
\( j \)는 허수,(\( i \)로 쓰기도 한다.)
\( \pi \)는 원주율
\( 0 \)과 \( 1 \)은 중요한 숫자.

자연상수에다가 허수와 파이를 곱한 만큼 거듭제곱[1]을 하고 1을 더하니 오묘하게 0이 되었다? 정말로 아름답지 아니할 수 없다.

물론 우연히 나온 결과가 아니라,

\( e^{jx}=\cos(x)+j\sin(x) \)

라는 오일러의 공식 Euler's formula에서 \( x \)가 \( \pi \)인 특이한 경우이다.

이를 복소평면상에서 해석하자면,

\( e^{j\pi}+(1+j0)=(0+j0) \ \Rightarrow \begin{pmatrix} \cos(\pi) \\ \sin(\pi) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)

작성중..

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[1] 거듭제곱을 자연수가 아닌 수로 어떻게 하는지(가능한지) 궁금하면 "거듭제곱의 확장, 그리고 또 확장"을 참조

자연로그의 밑, 자연상수 e

\( \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \)

\( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \)