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2014년 5월 6일 화요일

어떤 수의 허수 거듭제곱

i는 허수단위(imaginary unit)이다. aZ,a>0의 허수거듭제곱은,

ai=ailogbb=alogbbi=bilogbaai=eilnacos(lna)+isin(lna)

확장하여, 복소수거듭제곱은,

aw=an+im=e(n+im)lna=eneimlnaen(cos(mlna)+isin(mlna))

logarithm 때문에 a0 이면 식이 성립하지 않는다. aZ)로는 어떻게 확장해야할까?

로그함수를 음수는 물론, 복소수에 대해서도 확장시켜 복소로그함수로 간주하면 된다.[1]

예를 들어 1i를 구하고자 한다면,

1i=1lnei=eiln(1)=ei×iπ=eπ

사실 엄밀히 하자면 ln(1)=i(2n+1)π,nZ 이므로 이것은 답 중 '하나'에 속하지만, 이 답이 가장 간단하므로 주치(principal value)라고 한다.

[1] "복소로그함수 Complex logarithm 와 리만 곡면 Riemann surface"

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