i는 허수단위(imaginary unit)이다. a∈Z,a>0의 허수거듭제곱은,
ai=ailogbb=alogbbi=bilogba⇒ai=eilna⇒cos(lna)+isin(lna)
확장하여, 복소수거듭제곱은,
aw=an+im=e(n+im)lna=eneimlna⇒en(cos(mlna)+isin(mlna))
logarithm 때문에 a≤0 이면 식이 성립하지 않는다. a∈Z)로는 어떻게 확장해야할까?
로그함수를 음수는 물론, 복소수에 대해서도 확장시켜 복소로그함수로 간주하면 된다.[1]
예를 들어 −1i를 구하고자 한다면,
−1i=−1lnei=eiln(−1)=ei×iπ=e−π
사실 엄밀히 하자면 ln(−1)=i(2n+1)π,n∈Z 이므로 이것은 답 중 '하나'에 속하지만, 이 답이 가장 간단하므로 주치(principal value)라고 한다.
[1] "복소로그함수 Complex logarithm 와 리만 곡면 Riemann surface"
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