어떤 수의 허수 거듭제곱

\( i \)는 허수단위(imaginary unit)이다. \( a \in \mathbb{Z}, a>0 \)의 허수거듭제곱은,

\(
a^{i}=a^{i\log_{b} b}=a^{\log_{b} b^i}=b^{i\log_{b} a} \\
\Rightarrow a^{i}=e^{i\ln a} \\
\Rightarrow \cos(\ln a)+i\sin(\ln a)
\)

확장하여, 복소수거듭제곱은,

\( a^w=a^{n+im}=e^{(n+im)\ln a}=e^{n}e^{im\ln a} \\
\Rightarrow e^{n}\big( \cos(m\ln a)+i\sin(m\ln a) \big)
\)

logarithm 때문에 \(  a\leq 0 \) 이면 식이 성립하지 않는다. \( a \in \mathbb{Z}) \)로는 어떻게 확장해야할까?

로그함수를 음수는 물론, 복소수에 대해서도 확장시켜 복소로그함수로 간주하면 된다.[1]

예를 들어 \( -1^{i} \)를 구하고자 한다면,

\(
\begin{align}
    -1^{i} &= -1^{\ln{e^i}}\\
&=e^{i\ln{(-1)}}\\
&=e^{i\times i\pi}\\
&=e^{-\pi}
\end{align}
\)

사실 엄밀히 하자면 \( \ln{(-1)}=i(2n+1)\pi,n\in\mathbb{Z} \) 이므로 이것은 답 중 '하나'에 속하지만, 이 답이 가장 간단하므로 주치(principal value)라고 한다.

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[1] "복소로그함수 Complex logarithm 와 리만 곡면 Riemann surface"