원주율에 대한 라이프니츠 공식 Leibniz formula for pi

원주율은 다음과 같이 아름답게도 표현할 수 있다.

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$

합 공식으로 나타내면 간단하지만 오히려 아름답지가 않다.

$\sum_{n=0}^\infty \, \frac{(-1)^n}{2n+1} \;=\; \frac{\pi}{4}$

또는 변형하여,

$\frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} \bigg(\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}\bigg) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{(4n+1)(4n+3)}$

단, 이 공식을 이용하여 $\pi$를 구하는 것은 조금 바람직하지 않다. 진짜 $\pi$로의 수렴속도가 느리기 때문에.

증명은 여기로.