치환행렬 permutation matrix

치환행렬 (permutation matrix) 혹은 순열행렬
치환행렬은 기본 행렬(elementary matrix)의 세 종류 중 하나이다.

어떤 행렬에 곱해지면 그 행렬의 행 또는 열의 순서를 바꿔주는 역할을 한다.

성질

• 행렬의 앞에 곱해지면 원래 행렬의 행 순서를 바꿔주고 $\mathbf{P}_{n\times n}\mathbf{A}_{n\times m}$
  행렬의 뒤에 곱해지면 원래 행렬의 열 순서를 바꿔준다. $\mathbf{A}_{m\times n}\mathbf{P}_{n\times n}$
• 치환행렬이 대칭행렬(symmetric matrix)일 거라고 착각하는 경우가 있는데, 그것은 두 행 사이의 상호 행바꿈만 존재할 때만 그렇다. 대칭행렬인 치환행렬끼리 곱해도 치환행렬인데, 대칭행렬이 아닌 경우가 더 많다.
• 치환행렬의 전치(transpose)는 치환행렬의 역행렬(inverse matrix)과 같다.
  $\mathbf{P}^{T}=\mathbf{P}^{-1} \Leftrightarrow \mathbf{P}\mathbf{P}^{T}=\mathbf{I}$ (순서를 바꾸고 또 바꾸면 원래대로 돌아오게 되니까)
• 원래 위의 성질은 직교행렬의 것이다. 즉, 모든 치환행렬은 직교행렬(orthogonal matrix)이다.