2의 제곱근과 3의 제곱근이 무리수임을 증명하기

\( \sqrt{2} \)가 무리수(irrational number)임을 증명

만약 \( \sqrt{2} \)가 유리수라면, 서로소(relative prime)인 정수 \( a \)와 \( b \)로 표현 가능하다.
\( \sqrt{2} =\frac{b}{a} \)
\(2=\frac{b^2}{a^2} \longrightarrow 2{a^2} ={b^2} \)

따라서 \( b^2 \)는 짝수. \( b \) 역시 짝수. 따라서 \( b \)를 \( 2c \)라 한다면,
\( 2a^2 =4c^2 \longrightarrow a^2 = 2c^2 \)

따라서 \( a^2 \)는 짝수. \( a \) 역시 짝수.
\( a \) 와 \( b \)가 모두 짝수라면 서로소가 아니어서 가정에 모순되므로, \( \sqrt{2} \)는 유리수가 아니다.

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\( \sqrt{3} \)이 무리수임을 증명

만약 \( \sqrt{3} \)이 유리수라면, 서로소인 \( a \)와 \( b \)로 표현 가능하다.
\( \sqrt{2} =\frac{b}{a} \)
\(3=\frac{b^2}{a^2} \longrightarrow 3{a^2} ={b^2} \)

만약 \( a \)가 짝수라면, \( a^2 \)도 짝수다. 그렇다면 \( b^2 \)도 짝수이고, \( b \)도 짝수가 된다. 죄다 짝수면 서로소가 아니니까 \( a \)가 짝수이면 안 되나보다.
즉 \( a \)는 홀수이고, \( a^2 \)도 홀수다. 그렇다면 \( b^2 \)도 홀수이고, \( b \)도 홀수가 된다.

\( a=2m+1 \)로 두고,
\( b=2n+1 \)로 두자. (\( m \)과 \( n \)은 정수)

앞의 식에 다시 대입하면,

\( 3(4m^2+2m+1) =4n^2+2n+1 \)

정리하면
\( 6m^2+6m+1 =2n^2+n \)

\( 6m^2+6m \)는 짝수이고, 1을 더했으니 좌변은 홀수가 된다. 그러나 우변은 짝수다. 이것은 불능이므로, 이를 만족하는 \( a \)와 \( b \)는 없게 되어 \( \sqrt{3} \)이 유리수라는 가정은 틀렸다.

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이렇게 명제의 부정을 가정한 뒤, 모순을 이용하여 원래 명제가 참임을 증명하는 것을 귀류법(proof by contradiction)이라 한다.