2의 제곱근과 3의 제곱근이 무리수임을 증명하기

$\sqrt{2}$가 무리수(irrational number)임을 증명

만약 $\sqrt{2}$가 유리수라면, 서로소(relative prime)인 정수 $a$와 $b$로 표현 가능하다.
$\sqrt{2} =\frac{b}{a}$
$2=\frac{b^2}{a^2} \longrightarrow 2{a^2} ={b^2}$

따라서 $b^2$는 짝수. $b$ 역시 짝수. 따라서 $b$를 $2c$라 한다면,
$2a^2 =4c^2 \longrightarrow a^2 = 2c^2$

따라서 $a^2$는 짝수. $a$ 역시 짝수.
$a$ 와 $b$가 모두 짝수라면 서로소가 아니어서 가정에 모순되므로, $\sqrt{2}$는 유리수가 아니다.

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$\sqrt{3}$이 무리수임을 증명

만약 $\sqrt{3}$이 유리수라면, 서로소인 $a$와 $b$로 표현 가능하다.
$\sqrt{2} =\frac{b}{a}$
$3=\frac{b^2}{a^2} \longrightarrow 3{a^2} ={b^2}$

만약 $a$가 짝수라면, $a^2$도 짝수다. 그렇다면 $b^2$도 짝수이고, $b$도 짝수가 된다. 죄다 짝수면 서로소가 아니니까 $a$가 짝수이면 안 되나보다.
즉 $a$는 홀수이고, $a^2$도 홀수다. 그렇다면 $b^2$도 홀수이고, $b$도 홀수가 된다.

$a=2m+1$로 두고,
$b=2n+1$로 두자. ($m$과 $n$은 정수)

앞의 식에 다시 대입하면,

$3(4m^2+2m+1) =4n^2+2n+1$

정리하면
$6m^2+6m+1 =2n^2+n$

$6m^2+6m$는 짝수이고, 1을 더했으니 좌변은 홀수가 된다. 그러나 우변은 짝수다. 이것은 불능이므로, 이를 만족하는 $a$와 $b$는 없게 되어 $\sqrt{3}$이 유리수라는 가정은 틀렸다.

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이렇게 명제의 부정을 가정한 뒤, 모순을 이용하여 원래 명제가 참임을 증명하는 것을 귀류법(proof by contradiction)이라 한다.