복소로그함수, 복소수의 로그 complex logarithm

고등학교 교과과정에서의 logarithm

\( \log_{a}{b}=c   \Leftrightarrow a^c = b\ \text{where}\ a,b,c \in \mathbb{R} \ , \ a \neq 1 \ , \ a>0 \,\ b>0 \ , \\
\ln{b}=\log_{e}{b} \,\ e=2.71828\cdots. \)


확장 1

\( b \)가 양수여야 한다는 조건을 삭제하고자 한다면, \( b\ (b > 0) \)에 대해서,

\( \ln(-b)=\ln(b\times (-1))=\ln(b)+\ln(-1) \) 와 같이 결국 \( \ln(-1) \)을 정의하는 문제로 귀결되고,

\( -1=e^{j(2n+1)\pi}\ \text{where}\ n \in \mathbb{Z} \) 를 이용하면, \( \ln(-1)=\ln(e^{j(2n+1)\pi})=j(2n+1)\pi \)로 볼 수 있다. 즉,

\(
\ln{b}=\begin{cases}\ln{b} & b > 0\\ \ln{b}+j(2n+1)\pi & b < 0 \\\text{not defined}\ & b=0\end{cases}
\)

확장 2

\( b \in \mathbb{C}\)로 확장한다면,

\( b=x+jy  \Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}\exp(j\ \text{atan2}(y,x)) \) 이므로,

\(
\begin{align}
\ln(x+jy)&=\ln\big(\sqrt{x^2+y^2}\exp(j\ \text{atan2}(y,x))\big) \\
&=\ln(\sqrt{x^2+y^2})+j\ \text{atan2}(y,x) \\
\end{align}
\)

확장 3

\( a \in \mathbb{C}\)로도 확장한다면,

\( \log_{a}{b}=\frac{\ln{b}}{\ln{a}} \)에 의하여 무리없이 전개된다.


확장이 완료된 복소로그함수의 정의

\( \begin{align}
\log_{a}{b}&=c   \Leftrightarrow a^c = b\ \text{where}\ a,b,c \in \mathbb{C} \ , \ a \neq 1 \ , \ a\neq0 \,\ b\neq0 \ , \\
\ln{b}&=\log_{e}{b} \,\ e=2.71828\cdots. \\
\ln{z}&=\ln(\sqrt{x^2+y^2})+j\ \text{atan2}(y,x)\ \text{where}\ z=x+jy\ \text{and}\ x,y\in\mathbb{R}\ \text{and}\ j=\sqrt{-1}.
\end{align}
\)

\( \text{Log}(x+jy) \)의 결과를 그래프로 나타내면,

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[1] "복소로그함수 Complex logarithm 와 리만 곡면 Riemann surface"