복소로그함수, 복소수의 로그 complex logarithm

고등학교 교과과정에서의 logarithm

$\log_{a}{b}=c   \Leftrightarrow a^c = b\ \text{where}\ a,b,c \in \mathbb{R} \ , \ a \neq 1 \ , \ a>0 \,\ b>0 \ , \\ \ln{b}=\log_{e}{b} \,\ e=2.71828\cdots.$


확장 1

$b$가 양수여야 한다는 조건을 삭제하고자 한다면, $b\ (b > 0)$에 대해서,

$\ln(-b)=\ln(b\times (-1))=\ln(b)+\ln(-1)$ 와 같이 결국 $\ln(-1)$을 정의하는 문제로 귀결되고,

$-1=e^{j(2n+1)\pi}\ \text{where}\ n \in \mathbb{Z}$ 를 이용하면, $\ln(-1)=\ln(e^{j(2n+1)\pi})=j(2n+1)\pi$로 볼 수 있다. 즉,

$\ln{b}=\begin{cases}\ln{b} & b > 0\\ \ln{b}+j(2n+1)\pi & b < 0 \\\text{not defined}\ & b=0\end{cases}$

확장 2

$b \in \mathbb{C}$로 확장한다면,

$b=x+jy  \Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}\exp(j\ \text{atan2}(y,x))$ 이므로,

$\begin{align} \ln(x+jy)&=\ln\big(\sqrt{x^2+y^2}\exp(j\ \text{atan2}(y,x))\big) \\ &=\ln(\sqrt{x^2+y^2})+j\ \text{atan2}(y,x) \\ \end{align}$

확장 3

$a \in \mathbb{C}$로도 확장한다면,

$\log_{a}{b}=\frac{\ln{b}}{\ln{a}}$에 의하여 무리없이 전개된다.


확장이 완료된 복소로그함수의 정의

$\begin{align} \log_{a}{b}&=c   \Leftrightarrow a^c = b\ \text{where}\ a,b,c \in \mathbb{C} \ , \ a \neq 1 \ , \ a\neq0 \,\ b\neq0 \ , \\ \ln{b}&=\log_{e}{b} \,\ e=2.71828\cdots. \\ \ln{z}&=\ln(\sqrt{x^2+y^2})+j\ \text{atan2}(y,x)\ \text{where}\ z=x+jy\ \text{and}\ x,y\in\mathbb{R}\ \text{and}\ j=\sqrt{-1}. \end{align}$

$\text{Log}(x+jy)$의 결과를 그래프로 나타내면,

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[1] "복소로그함수 Complex logarithm 와 리만 곡면 Riemann surface"