무리수의 무리수거듭제곱이 유리수가 되는 경우

\( (\sqrt[p]m)^{\log_{m}(n^p)}=(n^p)^{\log_{m}(\sqrt[p]m)}=n\ \text{where}\ m,n,p \in \mathbb{N} \)

위 명제는 참[1]이고, '무리수의 무리수거듭제곱'이라는 조건을 만족하려면, \( m,n,p\neq 1\ \text{and}\  \sqrt[p]m \in \mathbb{I}\ and \frac{m}{n}\not\in\mathbb{N} \)이라는 조건이 추가되어야 된다. 그러면, \( \sqrt[p]{m}, \log_{m}(n^p) \in \mathbb{I} \)가 되기 때문이다.

예를 들어, \( (\sqrt{5})^{\log_{5}(9)}=9^{\log_{5}(\sqrt{5})}=3 \)가 성립한다.

\( 5 \)는 거듭제곱수가 아니므로 \( \sqrt{5} \)는 무리수이고, \( \log_{5}{(9)} \)는 자연수가 아니므로, 무리수이다.[2]

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아예 다른 조건으로 특이한 경우로는,

\( {\left( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \right)}^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{2}=2 \)
가 성립한다. 단, \( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \)가 무리수임을 증명해야 하는데 쉽지 않다.[3][4]

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[1] "밑변환 change of base"
[2] "자연수의 거듭제곱근은 자연수이거나 무리수"
[3] Gelfond–Schneider theorem를 이용하여 이것이 초월수임을 보이면 된다. 모든 초월수는 무리수이기 때문이다.
[4] 사실 유리수여도 문제를 푸는 데 있어서 상관없기는 하다. 애초에 \( \sqrt{2} \)가 무리수니까.