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2014년 5월 1일 목요일

무리수의 무리수거듭제곱이 유리수가 되는 경우

(pm)logm(np)=(np)logm(pm)=n where m,n,pN

위 명제는 참[1]이고, '무리수의 무리수거듭제곱'이라는 조건을 만족하려면, m,n,p1 and pmI andmnN이라는 조건이 추가되어야 된다. 그러면, pm,logm(np)I가 되기 때문이다.

예를 들어, (5)log5(9)=9log5(5)=3가 성립한다.

5는 거듭제곱수가 아니므로 5는 무리수이고, log5(9)는 자연수가 아니므로, 무리수이다.[2]

아예 다른 조건으로 특이한 경우로는,

(22)2=22=2
가 성립한다. 단, 22가 무리수임을 증명해야 하는데 쉽지 않다.[3][4]


[1] "밑변환 change of base"
[2] "자연수의 거듭제곱근은 자연수이거나 무리수"
[3] Gelfond–Schneider theorem를 이용하여 이것이 초월수임을 보이면 된다. 모든 초월수는 무리수이기 때문이다.
[4] 사실 유리수여도 문제를 푸는 데 있어서 상관없기는 하다. 애초에 2가 무리수니까.

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