(p√m)logm(np)=(np)logm(p√m)=n where m,n,p∈N
위 명제는 참[1]이고, '무리수의 무리수거듭제곱'이라는 조건을 만족하려면, m,n,p≠1 and p√m∈I andmn∉N이라는 조건이 추가되어야 된다. 그러면, p√m,logm(np)∈I가 되기 때문이다.
예를 들어, (√5)log5(9)=9log5(√5)=3가 성립한다.
5는 거듭제곱수가 아니므로 √5는 무리수이고, log5(9)는 자연수가 아니므로, 무리수이다.[2]
아예 다른 조건으로 특이한 경우로는,
(√2√2)√2=√22=2
가 성립한다. 단, √2√2가 무리수임을 증명해야 하는데 쉽지 않다.[3][4]
[1] "밑변환 change of base"
[2] "자연수의 거듭제곱근은 자연수이거나 무리수"
[3] Gelfond–Schneider theorem를 이용하여 이것이 초월수임을 보이면 된다. 모든 초월수는 무리수이기 때문이다.
[4] 사실 유리수여도 문제를 푸는 데 있어서 상관없기는 하다. 애초에 √2가 무리수니까.
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