평균율 음계

음악의 세상에서는 다음과 같은 약속[1]이 되어있다고 한다.

1. 1옥타브 라 = piano A4 = 440 Hz
2. 옥타브 한 단계 차이는 또 440 Hz

이 규칙에 따라서 '라'들은,

• 1옥타브 라 = piano A4 = 440 Hz
• 2옥타브 라 = piano A5 = 880 Hz
• 3옥타브 라 = piano A6 = 1760 Hz
• 4옥타브 라 = piano A7 = 3520 Hz (피아노 끝에서 세번째 흰 건반)

등으로 정의가 되고,

평균율(Equal temperament)을 따르면, 옥타브 안에서 음들은 12단계로 나뉘되, 연속된 두 음의 주파수 비율은 \( 1:\sqrt[12]{2}\)로 모두 같다. A4 에서 A5까지의 음 주파수는 다음과 같다.

1. A: 440.000
2. A#: 466.164
3. B: 493.883
4. C: 523.251
5. C#: 554.365
6. D: 587.330
7. D#: 622.254
8. E: 659.255
9. F: 698.456
10. F#: 739.989
11. G: 783.991
12. G#: 830.609
13. A: 880.000

그림 1은 위의 음들의 주파수에 자연로그를 취하여 나타낸 것이다. 피아노의 백건에 해당되는 것은 흰색 동그라미로, 흑건에 해당되는 것은 검은색 동그라미로 나타내었다. (그림 2와 함께 보라)

그림 1

음의 한 단계를 반음, 두 단계를 온음이라고 하는데, '시-도'와 '미-파'는 특별하게도 이름이 바뀌는데도 반음 관계이다. 즉 12계 음에서 8개를 취한 '도레미파솔라시도'는 이가 빠진 등비수열같은 것이었다. 하지만 여기에 이미 익숙해져버린 대다수의 사람들에게 '도레파솔라시'의 6음이나 12음을 전부 차례대로 들려주면 '도레미파솔라시도'처럼 자연스럽게 들리지가 않는다.

그림 2
http://toneme.wikispaces.com/file/view/PianoKeys.png/237531691/PianoKeys.png

MatLab code

n=0:12;
r=2.^(n/12);
A4=440;
freq_notes=A4*r;

우리나라의 경우도 똑같이 12음계가 있다.[2][3] 단지 여기에서 보통 적절히 5음계나 6음계를 선택하여 사용하기 때문에 서양보다 음계가 모자라는 것으로 잘못 알고 있는 경우가 있다.

1. 황종(黃鍾) D# \( \Rightarrow \) 황
2. 대려(大呂) E
3. 태주(太簇) F \( \Rightarrow \) 태
4. 협종(夾鍾) F#
5. 고선(姑洗) G
6. 중려(仲呂) G# \( \Rightarrow \) 중
7. 유빈(柳濱) A
8. 임종(林鍾) A# \( \Rightarrow \) 임
9. 이칙(夷則) B
10. 남려(南呂) C
11. 무역(無射) C# \( \Rightarrow \) 무
12. 응종(應鍾) D

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[1] 약속은 이렇게 되어있지만 추세가 442 Hz로 바뀌고 있다고도 한다. 특히 피아노가 빠지는 협주에서.
[2] http://www.gugak.go.kr/site/gugak/menu/1417.do?configNo=202&cmd=read&contentNo=62139
[3] http://blog.naver.com/dud83?Redirect=Log&logNo=10180328568