거듭제곱의 확장, 그리고 또 확장

거듭제곱은 $a^n$ 인데, $n$이 자연수일 때는 누구나 직관적으로 이해가 된다.

$a^n\times a^m = a^{n+m} \cdots (1) \\ (a^n)^m=a^{nm} \cdots (2) \\ n,m\in \mathbb{N}$

여기까지도 문제없이 이해 가능하면 아래처럼 그림 1을 그릴 수 있다.

그림 1

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하지만 옛날 사람들은 $a^2$ 와 $a^3$ 사이에도 $a^{2.5}$ 같은 것이 존재해야만 할 것 같았던 것이다.

$a^{2.5}$ 는 일단 $a^{2}$를 구한 다음에 $a^{0.5}$를 곱해야 된다. 이것은 자연적으로 거듭제곱(지수,승수)이 1보다 작을 때 어떻게 계산하는지에 대한 문제가 되었을 것이다. 어떤 수를 $n$회 거듭해서 곱한다는 거듭제곱수의 정의와 상충되는 게 아닌가?

하지만 $(2)$를 조금 확장하여, $n=\frac{1}{p} , p\in \mathbb{N}$ 이고, $m=p$ 인 것을 생각해보면,

$(a^{\frac{1}{p}})^p=a \Rightarrow a^{\frac{1}{p}} =\sqrt[p]{a}$

즉, $p$제곱근이 된다. 이걸 처음 알아낸 사람은 얼마나 신났을까?  $a^{2.5}$이란,  다름아닌 $a^{2}\times \sqrt{a}$였던 것이다!

이제 그렇다면  $a^{0.000000001}$ 같은 것도 (힘들지만) 구할 수는 있는 것이다. $1$에 가깝게 나오리란 것쯤은 예측 가능하다. 그리고 아직 증거는 없지만,  $a^{0}$ 이 1이라고 말할 수 있을 것 같다. 여기까지 구할 수 있다면 그림 2을 그릴 수 있다.

그림 2

하지만 이 곡선이 $0$에서 끊기는 것은 많이 아쉽다. 음수 영역에서도 자연스럽게 곡선이 이어질 것만 같으니까 말이다.

이번에는 $(1)$을 변형하여,

$a^{n+1}/a^1=a^n$

을 생각해보고, $n\leq 0$로 확장하면

$a^{0+1}/a^1=a^0=1 \\ a^{-1+1}/a^1=a^{-1}=\frac{1}{a^1} \\ a^{-2+1}/a^1=a^{-2}=\frac{1}{a^2}$

가 되므로, 거듭제곱(exponent, power)이 $0$ 일 때 모든 $a$에 대해서 그 값은 $1$이 되는 것이 확인되고, 음수인 거듭제곱 $n$은 다름아닌 역수를 만들어내는 것이 동시에 확인된다. 이제 그림 3도 그릴 수 있다.

그림 3

이상을 정리하면, 어떤 수 $a>0$[1]의 유리수거듭제곱은 다음과 같다.

$a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p} \ \text{where}\ p \in \mathbb{I}\ \text{and}\ q \in \mathbb{N}$

이제 좀 더 많은 경우의 $a$에 대하여 그래프를 그려보면, 아래 그림 4와 같이 구할 수 있다.

그림 4

그러나 변수가 $a$ 와 $n$로 2-dim.이니, 그림 5처럼 3차원 그래프로 나타내는 게 관계를 파악하는데 더 좋다.

그림 5

이제 거듭제곱이 유리수라도 문제없이 거듭제곱수를 구할 수 있다.

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실수로까지 확장하여 구하고 싶다면 어떻게 구할까? 애당초 무리수의 참값은 알 수 없고, 근사치로만 알고있기 때문에 근사치인 실수를 이용하면 된다.

$a^n=\lim_{r \rightarrow n}a^r\ \text{where}\ r\in\mathbb{Q}\text{and}\ n \in\mathbb{R}$

조금 얼렁뚱땅이기는 하지만 이렇게 거듭제곱이 실수인 경우까지 구할 수 있게 되었다.

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이번에는 복소수까지 확장해보자. [2]에 의하여,

$a^{n+jm}=e^{(n+jm)\ln a}$

로 변형될 수 있고, 오일러의 공식 $e^{jx}=\cos(x)+j\sin(x)$에 의해 자연상수$e$의 허수인 거듭제곱을 계산할 수 있다. 당연하게도 결과는 복소수로 나오게 된다. 그림 6은 $2^{n+im}$에 대하여 그 결과를 색상으로 나타낸 것이다. 애석하게도 실수부와 허수부를 한번에 나타낼 수는 없으므로, 두 그래프로 나누어 나타내었다.

그림 6

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[1] $a=0$인 경우에 대해서는 "............"을 참조
[2] "밑변환 change of base"에서 지수 밑변환을 잠조