행렬의 삼각함수 matrix sine and matrix cosine

\( \cos \begin{pmatrix}a & b \\c & d \end{pmatrix} =? \)

\(
\begin{align}
\sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \\
\cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}.
\end{align}
\)

이므로, \( \mathbf{A} \in \mathbb{C}^{n \times n} \) 에 대해서는,

\(
\sin \mathbf{A} = \mathbf{A} - \frac{\mathbf{A}^3}{3!} + \frac{\mathbf{A}^5}{5!} - \frac{\mathbf{A}^7}{7!} + \cdots, \\
\cos \mathbf{A} = \mathbf{I} - \frac{\mathbf{A}^2}{2!} + \frac{\mathbf{A}^4}{4!} - \frac{\mathbf{A}^6}{6!} + \cdots.
\)

로 구할 수 있다.[1] 이로 인해,

\(
e^{i \mathbf{A}}=\cos \mathbf{A} + i \sin \mathbf{A}
\) 도 구할 수 있게 된다.

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[1] http://dx.doi.org/10.1137/1.9780898717778.ch12