자연수의 거듭제곱근은 자연수이거나 무리수

"2의 제곱근과 3의 제곱근이 무리수임을 증명하기"를 좀더 확장해서 생각해보면, 어떤 소수(prime number)의 제곱근은 모두 무리수일 것만 같다. 예를 들어 \( \sqrt{7} \)이 무리수(irrational number)인 것을 증명해본 사람은 거의 없겠지만, 그 값을 유리수(rational number)로 표현해본 사람도 없을 것이다. 무리수 맞다.

하지만 '소수의 제곱근은 무리수'가 참이라고 해서, '소수가 아닌 자연수의 제곱근은 유리수'인 것은 절대 아니다. 너무나 간단한 예가 있는데, \( \sqrt{6}=\sqrt{2}\sqrt{3} \)부터가 무리수 아니던가. 거꾸로 생각해보면, 애당초 자연수의 제곱근이 무리수가 아닌 경우는 매우 제한적이다. 그것도, 그냥 유리수가 아닌 자연수로만 나오게 된다. 그말은,

제곱수가 아닌 자연수의 제곱근은 무리수이다.

이며, 확장하면,

거듭제곱수가 아닌 자연수의 거듭제곱근은 무리수이다.

가 된다. 수식으로 표현한다면,

\( \sqrt[b]{a} \in \mathbb{I},\text{where}\ a, b\in \mathbb{N} \ \text{and}\ \sqrt[b]{a} \not\in \mathbb{N} \)

이 말은 다른 말로,

자연수의 거듭제곱근은 자연수이거나 무리수이다.

---

수 체계(number set)의 표기법이 익숙하지 않다면 [1]을 참조.

---

[1] "수 체계 표기법"