2012년 8월 17일 금요일

원소가 추가된 경우 분산 구하는 방법

N 개의 원소로 이루어진 벡터 X가 있다고 하자.
X=[x1,x2,,xN]

the 1st raw moment(평균) : ¯X=1NNi=1xi
the 2nd raw moment : ¯X2=1NNi=1x2i
the 2nd central moment(분산) : σ2X=¯X2¯X2

그런데 만약 거기에 새로운 원소 하나가 추가되어 Y=[x1,x2,,xN,xN+1] 라는 새로운 벡터가 된다면, 이것의 평균과 분산은 어떻게 구할 수 있을까.

위 계산식처럼 처음부터 다시 구할 수도 있지만, X를 몰라도 본디의 '평균'과 '분산', 그리고 '원소의 개수'만 알고 있어도 계산이 가능하다.
¯Y=N¯X+xN+1N+1¯Y2=N¯X2+x2N+1N+1=N(σ2X+¯X2)+x2N+1N+1σ2Y=¯Y2¯Y2.

같은 원리로 '평균'과 '분산', '원소 개수'만 알고 있는 또 다른 벡터가 합쳐진다고 해도 병합된 벡터의 평균과 분산을 쉽게 구할 수 있다.

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