원소가 추가된 경우 분산 구하는 방법

\( N \) 개의 원소로 이루어진 벡터 \( \mathbf{X} \)가 있다고 하자.
\[ \mathbf{X}=\left [ x_1 , x_2 , \cdots , x_N \right ] \]
the 1st raw moment(평균) : \( \overline{\mathbf{X}} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{x_i} \)
the 2nd raw moment : \( \overline{\mathbf{X}^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}{x^{2}_{i}} \)
the 2nd central moment(분산) : \( \sigma^{2}_{\mathbf{X}}=\overline{\mathbf{X}^2}-\overline{\mathbf{X}}^2 \)

그런데 만약 거기에 새로운 원소 하나가 추가되어 \(  \mathbf{Y}=\left [ x_1 , x_2 , \cdots , x_N , x_{N+1} \right ] \) 라는 새로운 벡터가 된다면, 이것의 평균과 분산은 어떻게 구할 수 있을까.

위 계산식처럼 처음부터 다시 구할 수도 있지만, \( \mathbf{X} \)를 몰라도 본디의 '평균'과 '분산', 그리고 '원소의 개수'만 알고 있어도 계산이 가능하다.
\begin{eqnarray}

\overline{\mathbf{Y}} = \frac{N\cdot \overline{\mathbf{X}}+x_{N+1}}{N+1}\\
\overline{\mathbf{Y}^2} = \frac{N \cdot \overline{\mathbf{X}^2}+x^{2}_{N+1}}{N+1}\\
= \frac{N \cdot \left( \sigma^{2}_{\mathbf{X}}+\overline{\mathbf{X}}^2 \right) +x^{2}_{N+1}}{N+1}\\
\sigma^{2}_{\mathbf{Y}} = \overline{\mathbf{Y}^2}-\overline{\mathbf{Y}}^2.\\

\end{eqnarray}
같은 원리로 '평균'과 '분산', '원소 개수'만 알고 있는 또 다른 벡터가 합쳐진다고 해도 병합된 벡터의 평균과 분산을 쉽게 구할 수 있다.

무엇인가에 대하여 토론을 할 때 그에 대한 정의와 한계의 확인 과정이 반드시 선행되어야 한다.
하지만 보통은 아래와 같이 진행될 가능성이 농후하다.

문 : A를 정의해봐라.
답 : A에는 이러이러한 것이 있다.
문 : 그건 A의 예시일 뿐이다.
답 : A는 이러이러한 것이 특징이다.
문 : 그건 A의 특징이다.
답 : A는 B와 달리 이렇다.
문 : 그건 관심없고. A의 정의가 무엇이냐고 묻고 있다.
답 : ...

A의 예시와 특징은 전혀 다른 B의 그것들과 일치할 수 있다. 따라서 A를 규정하는 데에는 도움이 되지 않는다. 규정되지 않은 주제에 대해서 이야기할 수는 없는 노릇이다.

이제 A에 '재벌특혜'라든지 '망중립성'이라는 말을 넣어 자문자답해보자.
과연 제대로 정의를 설명할 수 있는가?

내가 보아온 대다수의 사람들이 이 준비조차 하지 않고 아는 척을 하려 한다. 다음과 같은 명언으로 이 글을 마치고자 한다.

'Think twice before you say something.'
'Google twice before you write something'

세상(국가/사회)의 가치에 대해 말할 때, 돈을 얼마나 가졌는지가 아니라 돈으로도 살 수 없는 것을 가졌는지가 중요하다.

'돈이 없어도 행복지수가 높은 나라가 있다!' 식의 식상한 이야기가 아니다. 언론의 자유, 집회의 자유, 결사의 자유는 돈으로 살 수 없는 것이다. 이것이 보장된 나라가 훌륭한 나라이다. 이런 것들 위에서 비로소 훌륭한 문화도 자라난다.

국민 대다수의 문화생활이라고는 영화감상밖에 없는 이런 상황에서 몇몇 엘리트 예술가가 세계에 이름을 떨친들 별 의미가 없다. 자유가 위축된 사회분위기에서 무슨 자생적인 문화생활이 있나.