자연수의 거듭제곱근은 자연수이거나 무리수

"2의 제곱근과 3의 제곱근이 무리수임을 증명하기"를 좀더 확장해서 생각해보면, 어떤 소수(prime number)의 제곱근은 모두 무리수일 것만 같다. 예를 들어 \( \sqrt{7} \)이 무리수(irrational number)인 것을 증명해본 사람은 거의 없겠지만, 그 값을 유리수(rational number)로 표현해본 사람도 없을 것이다. 무리수 맞다.

하지만 '소수의 제곱근은 무리수'가 참이라고 해서, '소수가 아닌 자연수의 제곱근은 유리수'인 것은 절대 아니다. 너무나 간단한 예가 있는데, \( \sqrt{6}=\sqrt{2}\sqrt{3} \)부터가 무리수 아니던가. 거꾸로 생각해보면, 애당초 자연수의 제곱근이 무리수가 아닌 경우는 매우 제한적이다. 그것도, 그냥 유리수가 아닌 자연수로만 나오게 된다. 그말은,

제곱수가 아닌 자연수의 제곱근은 무리수이다.

이며, 확장하면,

거듭제곱수가 아닌 자연수의 거듭제곱근은 무리수이다.

가 된다. 수식으로 표현한다면,

\( \sqrt[b]{a} \in \mathbb{I},\text{where}\ a, b\in \mathbb{N} \ \text{and}\ \sqrt[b]{a} \not\in \mathbb{N} \)

이 말은 다른 말로,

자연수의 거듭제곱근은 자연수이거나 무리수이다.

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수 체계(number set)의 표기법이 익숙하지 않다면 [1]을 참조.

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[1] "수 체계 표기법"

수 체계 표기법

수 체계(number set)는 다음의 표기로 통용된다.

\( \mathbb{C} \): 복소수(complex number)
\( \mathbb{R} \): 실수(real number)
\( \mathbb{I} \): 무리수(irrational number)[1]
\( \mathbb{Q} \): 유리수(rational number)[1]
\( \mathbb{Z} \): 정수(integer)
\( \mathbb{N} \): 자연수(natural number)
\( \mathbb{P} \): 소수(素數 prime number)[2]

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[1] 무리수(無理數)는 무비수(無比數)로, 유리수(有理數)는 유비수(有比數)로 바로잡아야 한다고 엔하위키에 나와있는데, 나는 두 가지 상반된 견해로 비판하고 싶다. 첫 번째로, 理에는 다스리다 supervise, manage라는 뜻도 있으므로, 분수로써 다스릴 수(표현할 수) 있느냐 없느냐에 따라 有理/無理로 분류하는 것이 꽤 이치에 맞는 듯 하다. 두 번째로는, 만약 理가 오역에 의한 것이라면, 有比/無比로 개정하는 것은 어색하지 않을 수 없다. 비율이 없다기보다는, 비율로써 나타낼 수 없는 것이니까, 비수(比數)/불비수(不比數)가 더 낫지 않을까?
[2] 소수(小數)와 한국어 표기법이 같아 혼동될 수 있다. 옛날 책을 보면 솟수라고 불리었던 것 같은데, 1988년 맞춤법 규정에 따라 한자어 중 사이시옷이 허용되는 경우[3]에 포함되지 않았다.
[3] 딱 여섯가지 단어만 허용된다. (곳간, 셋방, 숫자, 찻간, 툇간, 횟수) 국문학자들이 수학을 잘 몰랐나보다. 혹시 장음 단음으로 구분하라는 걸까?