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2013년 4월 23일 화요일

(고등학생을 위한) 2차 정사각행렬의 역행렬 The Inverse of a 2 by 2 Square Matrix


행렬 A=(abcd) 의 역행렬은 공식으로 외웠을 것이다.
ad는 자리를 바꾸고, bc는 부호를 바꾸고, adbc로 나눠주고... 다음과 같이.
행렬 B=1adbc(dbca)
그런데 왜? 고등학교 과정에서는 그 이유를 도통 알려주지 않는다.
다시 B를 떠올려보자.역행렬의 정의에 의하여, AB=I이다. 좌변과 우변의 좌측에 임의의 행렬 P를 곱해도 역시 성립한다.
PAB=P
계속 똑같은 짓을 반복해도 성립한다.여기서 주의할 점은,A는 실제로 우리가 알고 있는 것이고, B는 모르는 상태라는 것.이걸 헷갈리면 안 된다.
곱해주는 행렬을 '적절히' 만들어주면 B를 제외한 앞쪽 행렬들의 곱이 단위행렬 I가 되게 만들 수도 있을 것이다.
(1a001a)(abcd)B=(1bacada)B=(1a001a)=P1
(100ac)(1bacada)B=(1ba1dc)B=P2P1
(1011)(1ba1dc)B=(1ba0adbcac)B=P3P2P1
(100acadbc)(1ba0adbcac)B=(1ba01)B=P4P3P2P1
(1ba01)(1ba01)B=(1001)B=B=P5P4P3P2P1
P5P4P3P2P1=(1ba01)(100acadbc)(1011)(100ac)(1a001a)=(dadbcbadbccadbcaadbc)
물론 행렬 Pi의 개수나 그 값은 고정되어 있지 않다. 과정에 따라 달라질 수 있다.하지만 그 결과물은 항상 우리가 아는 저 식으로 수렴하게 된다.
보다시피, adbc0이면 저 식 자체가 성립하지 않는다. 즉, 역행렬이 존재하지 않는다.
공교롭게도 adbc는 2차 정사각행렬의 행렬식(determinant)인데, 이것이 우연의 일치인지 아닌지는 다음 포스팅에서 다루기로 한다.

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