(고등학생을 위한) 2차 정사각행렬의 역행렬 The Inverse of a 2 by 2 Square Matrix

행렬 \( \mathbf{A}= \left( \begin{array}{ccc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \) 의 역행렬은 공식으로 외웠을 것이다.
\( a \)와 \( d \)는 자리를 바꾸고, \( b \)와 \( c \)는 부호를 바꾸고, \( ad-bc \)로 나눠주고... 다음과 같이.
행렬 \( \mathbf{B}= \frac{1}{ad-bc} \left( \begin{array}{ccc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) \)
그런데 왜? 고등학교 과정에서는 그 이유를 도통 알려주지 않는다.
다시 \( \mathbf{B} \)를 떠올려보자.역행렬의 정의에 의하여, \( \mathbf{AB}=\mathbf{I} \)이다. 좌변과 우변의 좌측에 임의의 행렬 \( \mathbf{P} \)를 곱해도 역시 성립한다.
\( \mathbf{PAB}=\mathbf{P} \)
계속 똑같은 짓을 반복해도 성립한다.여기서 주의할 점은,\(\mathbf{A}\)는 실제로 우리가 알고 있는 것이고, \(\mathbf{B}\)는 모르는 상태라는 것.이걸 헷갈리면 안 된다.
곱해주는 행렬을 '적절히' 만들어주면 \(\mathbf{B}\)를 제외한 앞쪽 행렬들의 곱이 단위행렬 \(\mathbf{I}\)가 되게 만들 수도 있을 것이다.
\( \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & \frac{1}{a} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\mathbf{B}= \left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{b}{a} \\ \frac{c}{a} & \frac{d}{a} \end{array} \right) \mathbf{B} = \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & \frac{1}{a} \end{array} \right)=\mathbf{P}_{1} \)
\( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & \frac{a}{c} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{b}{a} \\ \frac{c}{a} & \frac{d}{a} \end{array} \right)\mathbf{B}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{b}{a} \\ 1 & \frac{d}{c} \end{array} \right)\mathbf{B}=\mathbf{P}_{2}\mathbf{P}_{1} \)
\( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{b}{a} \\ 1 & \frac{d}{c} \end{array} \right)\mathbf{B}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{b}{a} \\ 0 & \frac{ad-bc}{ac} \end{array} \right)\mathbf{B}=\mathbf{P}_{3}\mathbf{P}_{2}\mathbf{P}_{1} \)
\( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & \frac{ac}{ad-bc} \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{b}{a} \\ 0 & \frac{ad-bc}{ac} \end{array} \right)\mathbf{B}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{b}{a} \\ 0 & 1 \end{array} \right)\mathbf{B}=\mathbf{P}_{4}\mathbf{P}_{3}\mathbf{P}_{2}\mathbf{P}_{1} \)
\( \left( \begin{array}{ccc} 1 & -\frac{b}{a} \\ 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{b}{a} \\ 0 & 1 \end{array} \right)\mathbf{B}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\mathbf{B}=\mathbf{B}=\mathbf{P}_{5}\mathbf{P}_{4}\mathbf{P}_{3}\mathbf{P}_{2}\mathbf{P}_{1} \)
\( \mathbf{P}_{5}\mathbf{P}_{4}\mathbf{P}_{3}\mathbf{P}_{2}\mathbf{P}_{1}= \left( \begin{array}{ccc} 1 & -\frac{b}{a} \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & \frac{ac}{ad-bc} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & \frac{a}{c} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{a} & 0 \\ 0 & \frac{1}{a} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} \frac{d}{ad-bc} & \frac{-b}{ad-bc} \\ \frac{-c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \end{array} \right)\)
물론 행렬 \(\mathbf{P}_{i}\)의 개수나 그 값은 고정되어 있지 않다. 과정에 따라 달라질 수 있다.하지만 그 결과물은 항상 우리가 아는 저 식으로 수렴하게 된다.
보다시피, \(ad-bc\)가 \(0\)이면 저 식 자체가 성립하지 않는다. 즉, 역행렬이 존재하지 않는다.
공교롭게도 \(ad-bc\)는 2차 정사각행렬의 행렬식(determinant)인데, 이것이 우연의 일치인지 아닌지는 다음 포스팅에서 다루기로 한다.